0 Хармонија и математика во музиката
- Основни поими во теоријата на музиката
- Што претставува тон, акорд, аликвотни тонови, акорди – карактеристики
- Математиката и музиката и нивната нераскинлива и заемна поврзаност
- Математиката како основа за хармонијата во музиката – хармонија на вселената и корен од 2
- Улогата на Питагора и музичките интервали – историјат
- Низата на фибоначи, логаритамска спирала и златен пресек
- Музиката во науката и праксата
harmonija i matematika
Alikvotni tonovi
Poznato je da svaki muzički ton predstavlja složenu zvučnu pojavu. U zvuku
svakog tona sadržani su i njegovi tzv. alikvotni tonovi (parcijalni tonovi ili harmonici),
čije se frekvencije odnose prema tonu u kojem se pojavljuju, tj. osnovnom tonu, kao
1:2:3:4:5:6:7:8:9 itd. do određene granične frekvencije. Ova granica kod nekih
instrumenata iznosi:
Instrument Horna Flauta Violina Truba Triangl
Granična
frekvencija
(kHz)
1.5 4 8 9 16
4
Tako su, na primer u tonu A, čija je frekvencija 110Hz, sadržani sledeći alikvotni tonovi:
Osnovni ton Alikvotni tonovi (Hz)
110 Hz 220 330 440 550 660 770 880 990 1100 1210 1320 1430
Približan ton a e
1
a
1
cis2
e
2
g
2
a
2
h
2
cis3
dis3
e
3
f
3
A u tonu C su sadržani naredni alikvoti:
Alikvotne tonove ne razabiramo sluhom kao samostalne tonove, nego samo kao
prizvuk, odnosno boju glavnog, osnovnog tona. Takođe, što je manji broj alikvotnih
tonova (tj. što je granična frekvencija niža) to je zvuk instrumenta “mekši” i obratno – što
je alikvotnih tonova više, to je zvuk instrumenta oštriji. Na nekim instrumentima se,
naročitim postupkom u sviranju, može postići da pojedini alikvoti zazvuče izdvojeno, kao
tzv. flažoleti. Dovoljno je na odredjenom mestu žicu samo lagano dotaći, umesto čvrsto
pritisnuti, usled čega nastaje specifična boja tona Slika ili dijagram odnosa tih tonova
zove se zvučni spektar, a mogu se registovati i tzv. Helmholcovim rezonatorima, kojima
je utvrđeno njihovo postojanje. Četvrti, peti i šesti alikvotni ton daju tonove durskog
trozvuka, pa je na osnovu toga proistekla teorija nekih estetičara o prirodnoj osnovi
durskog tonaliteta. Nemački muzikolig Hugo Riman postavio je hipotezu o postojanju
niza alikvotnih tonova sa suprotnim kretanjem intervala – odozgo naniže. Fizičko
postojanje donjeg alikvotnog niza nije eksperimentalno utvrđeno, ali prema Rimanu i
četvrti, peti i šesti ton donjeg alikvotong niza obrazuju molski trozvuk. Na osnovu ovoga
je izveden zaključak da i molski tonalitet ima u jednom akustičnom zakonu svoju
prirodnu podlogu, što predstavlja tzv. Rimanovu hipotezu.
Zaključimo, dakle, da je još od najdavnijih vremena, od kada je čovek proizvodio
muziku bilo svojim glasom, bilo na nekom od prvobitnih muzičkih instrumena, u osnovi
svakog tona ležao i leži niz prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… i to upravo onaj
kojeg nam je po rečima Kronekera podario dragi Bog. Njihove recipročne vrednosti
obrazuju tzv. harmonijski niz 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… za čiji naziv postoji više razloga.
Prvo, kao što je već pomenuto, ovi tonovi u akustici često nose naziv harmonici, a sami
brojevi tačno označavaju deo žice koja treperi prilikom proizvođenja odgovarajućeg tona.
Zatim, svaki član ovog niza predstavlja harmonijsku sredinu dva susedna člana koja se
izračunava po formuli:
H(a, b) =
a b
ab
+
2
5
Pri tome treba imati u vidu da su još stari pitagorejci, a posebno Arhita, koristili
aritmetičku i harmonijsku sredinu za podelu oktave na sve manje i manje intervale i tako
dobili više različitih dijatonskih skala.
Recipročna funkcija (hiperbola) y = k/x ima svoju podlogu u prirodnom zakonu,
da je kod žice muzičkog instrumenta broj oscilacija obrnuto proporcionalan dužini dela
žice koji treperi.
U nizu alikvotnih tonova poseban i izuzetan značaj zauzimaju oktave. Pre svega,
njihove frekvencije se odnose kao 1:2:4:8:16…, tj. obrazuju geometrijsku progresiju, čiji
je količnik 2. Ali i bez toga, oktava je za sve harmoničare najvažniji interval u muzici i
najsavršeniji. Tokom mnogih vekova, od vremena pitagorejaca do današnjih dana,
matematičari, akustičari, teoretičari muzike i graditelji muzičkih instrumenata proučavali
su problem tonskog uređivanja, izjednačavanja i tempiranja muzičkih skala i tačnog
određivanja položaja svakog tona u njima, ali teško da se iko usudio da dirne u svetinju
oktave, jer su intuitivno osećali da se ona nalazi u “temeljima postanka sveta”. S jedne
strane, osnovni ton i njegova oktava nisu identični, a s druge strane, oba tona u čoveku
pobuđuju “kvalitativno isti subjektivni doživljaj”. Svaki ton je u stanju da iz sebe izvede,
po pravilu geometrijske progresije, čitav jedan neograničen niz oktava ili tzv. oktavni
prostor. Ali i svaki novonastali ton ima tu istu reproduktivnu moć.
Posmatrajmo sada uporedo dva pomenuta, možda najvažnija, na prirodnim
zakonima zasnovana niza, i to:
oktavni niz: 2 1
, 2 2
, 2 3
, 2 4
, 2 5
, 2 6
, …
niz prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Prvi od njih raste eksponencijalno, a drugi linearno. Vidimo da se članovi drugog
niza dobijaju logaritmovanjem prvog za osnovu 2. Zapravo, drugi niz je niz logaritama
prvog, što nas vodi do Veber-Fehnerovog zakona. Oktavni brojevi predstavljaju
podražaje u obliku frekvencija, a prirodni brojevi odgovaraju “subjektivno doživljenim
tonskim visinama”. Osnovni psihofizički zakon prema Fehneru ima oblik
S = k * logR
gde je S jačina oseta (ili kako neki više vole intenzitet senzacije), k je konstanta
karakteristična za određeni modalitet, i R je intenzitet stimulacije tj. podražaja. Dakle,
Fehnerov zakon glasi da “jačina oseta jeste proporcionalna logaritmu odgovarajućeg
podražaja”. To opet znači da “eksponencijalnom rastu veličine podražaja odgovara
linerani rast veličine oseta”.
Veber-Fehnerov zakon je doživeo mnoge polemike i osporavanja, ali u oktavnom
prostoru je dobio svoju najveću potvrdu. Oktava je fundamentalnan muzički interval koji
“kao nijedan drugi tonski korak, u nama izaziva isti kvalitet oseta”. Koračanje duž niza
oktava osećamo kao ravnomerno penjanje ili spuštanje, tako da se u ovom slučaju
pomenuti zakon ostvaruje.
Bitno je spomenuti da Gustav Teodor Fehner (1801-1887) jeste čovek koji je težio
jednoj sveobuhvatnoj psihološkoj slici sveta – “sveta u kome se duhovni i materijalni
procesi od početka razvijaju uporedo i zajedno, jedni sa drugima, isto kao i fizičko i
psihičko u njegovoj psihofizici”. Kažu da iz njegovih dela govori “jedno istinsko
6
jedinstvo religije, umetnosti i nauke, u kome Bog i priroda, duh i materija, vera i nauka
stoje u tesnoj međusobnoj povezanosti”, kao i da je njegova glavna preokupacija bila
“naći most između srca i razuma”. A složićemo se svi da je ovo u izvesnom smislu i
jedna od preokupacija harmonije.
Vratimo se sada na harmonijski niz koji predstavlja alikvotne tonove. Iz ovog niza
možemo izdvojiti geometrijski podniz, odnosno oktavni podniz. Njegovim
logaritmovanjem ponovo se dobija harmonijski niz, i ova igra uz pomoć logaritamske
funkcije može po volji da se produži. Stoga se smatra da je logaritamska funkcija
matematički izraz povezanosti fizičkog i psihičkog, objektivnog i subjektivnog.
Harmonija i spirala
Niz alikvotnih tonova, odnosno harmonijski niz, fascinirao je sve prave
istraživače nauke o harmoniji, koji su u njemu doživljavali jedan od osnovnih
“prafenomena univerzuma” i otkrivali različita i višeslojna značenja. Poznati nemački
harmoničar Peter Nojbeker spontano je i intuitivno alikvotni niz predstavio u obliku jedne
spirale (sl. 2) pri čemu svaka oktava označava jedan nov ciklus, a zatim je to dovedeno u
vezu sa biblijskom Knjigom postanja.
“Broj 1 ukazuje da tonski prostor još nije u sebi
struktuiran već haotičan, a jedina polazna tačka je
osnovni ton – jedno – duh Božji koji sve obuhvata,
odnosno kako Biblija kaže: “Beše tama nad bezdanom; i
duh Božji dizaše se nad vodom.”
Broj 2 u tonskom prostoru izaziva prvu
polarizaciju koja istovremeno vodi ka cikličkoj oktavnoj
strukturi. Prvi akt stvaranja je polarizacija u svetlost i
tamu koja istovremeno vodi ka cikličkom fenomenu dana
i noći. “I reče Bog: neka bude svetlost. I bi svetlost. I
vide Bog svetlost da je dobra; i rastavi Bog svetlost od
tame.”
Broj 3 se pojavljuje u drugom ciklusu kao prvo novo biće u obliku kvinte.
Istovremeno sa njom nastala je i mogućnost formiranja kvintnog kruga, a time i mnoštva
tonova u njihovoj organskoj uređenosti. Trojka polarizuje oktavu na kvintu i kvartu, a
kvinta simbolizuje prvog čoveka Adama.
Kvinta se kroz broj 5 dalje polarizuje u veliku i malu tercu. Pojavljuju se dur i
mol – muško i žensko. Dok je u prvom ciklusu stvaranja čovek još bio androgeno biće,
tek na ovom stepenu kroz polarizaciju na čoveka i ženu, dobija se istinski ljudski
kvalitet.
Sedmi alikvotni ton sa prethodnim obrazuje septakord koji se doživljava kao
pitanje kojim se stvoreni čovek obraća stvaraocu. Pitanje se postavlja o kušanju sa
drveta saznanja i obećanju zmije da će čovek postati kao Bog.
7
sl.2
Sa brojem 8 zatvara se još jedan oktavni ciklus, a sa brojem 9 počinje
napredovanje i izgradnja tonske skale iz manjih elemenata. Posle broja 8 čovek mora da
napusti rajski prostor i započne tegoban zemaljski život koji se u Bibliji opisuje rečima
“Sa znojem lica svojega ješćeš hleb”.”
Peter Nojbeker nije dao nikakvo matematičko izvođenje, niti je precizirao o kom
obliku spirale je reč. Postoje, tri glavna tipa spirala (Arhimedova, hiperbolička i
logaritamska). I sva tri su u neposrednoj, živoj i organskoj vezi sa nizom alikvotnih
tonova, ali pored toga imaju i mnoga druga značenja i ispoljavanja. Jednačine svih ovih
spirala izražavaju se u tzv. polarnim koordinatama ρ i θ, gde je ρ poteg ili rastojanje neke
tačke od koordinatnog početka ili pola, a θ ugao između potega ρ i polarne (horizontalne)
ose (sl. 3).
Jedan od najvećih matematičara i naučnika helenističke epohe i celokupnog starog
sveta bio je Arhimed (287 – 212. pre nove ere). U svojoj knjizi O spiralama, on definiše
krivu koju mi danas nazivamo Arhimedova spirala kao “liniju opisanu tačkom koja se
jednoliko kreće po pravoj, koja se pak sa svoje strane jednoliko obrće oko jedne stalne
tačke”. Ako uzmemo da se početni položaj obrtne prave nalazi na polarnoj osi i da je
početni položaj pokretne tačke u polu polarnog koordinatnog sistema, tada jednačina
spirale ima oblik ρ = aθ, gde konstanta a predstavlja faktor proporcionalnosti. Na slici 4
imamo spiralu nacrtanu za dva suprotna smera obrtanja pokretne prave.
Šta ja to čujem?
Čovek je skoro stalno okružen zvucima koji dopiru do njega iz okoline. Nekih
zvukova smo svesni, a drugih nismo. Čujemo ih, ali naš mozak ih ne obrađuje svesno
– mi te zvuke doživljavamo kao deo ambijenta gde boravimo.
Zvuk je mehanički talas koji nastaje oscilovanjem (treperenjem) nekog tela
(izvora zvuka) u elastičnoj sredini. Pri tome,
oscilatorno kretanje je specijalna vrsta periodičnog kretanja koje se vrši uvek po istoj
putanji, sa prolaskom kroz jednu ravnotežnu tačku, u različitim smerovima. Čovek
proizvodi zvuk treperenjem (oscilovanjem) glasnih žica koje pokreće vazdušna
struja iz pluća. Muzički instrumenti proizvode zvuk na različite načine: udarcem
ili udaranjem (bubanj, doboš, ksilofon, pa i klavir), trzanjem žice (gitara, harfa),
trenjem (gudački instrumenti), treperenjem vazduha (duvački instrumenti).
Kada neki zvučni izvor svojim oscilovanjem izazove formiranje mehaničkog
talasa (dovoljne frekvencije), elastična sredina taj talas prenosi do jedne tanke
membrane (bubne opne), koja se nalazi u dnu kanala ušne školjke. Oscilovanje
bubne opne se prenosi preko slušnih koščica do unutrašnjeg uha, gde se nalaže
zavšeci specijalnih nerava, tzv. čulni senzori. Čulni senzori taj nadražaj prenose u
mozak, gde se stvara doživljaj zvuka.
Od buke do muzike
Kakav subjektivan osećaj će čovek imati prilikom
doživljaja zvuka zavisi od toga kako osciluje zvučni
izvor. Jačina zvuka zavisi od energije koja je preneta
zvučnom izvoru – ako je ta energija veća, rastojanje
između ravnotežnog položaja i najudaljenijeg položaja do kojeg je telo dospelo pri oscilatornom kretanju
(tzv. amplituda) je veća, i naš subjektivan osećaj je
da čujemo jači zvuk. Jačina zvuka se meri u decibelima (dB). Čovek može da čuje zvuke jačine od 5dB
(prag čujnosti) do 130 dB (granica bola). Druga važna
karakteristika oscilatornog kretanja jeste broj oscilacija u sekundi, tzv. frekvencija (učestalost). Jedinica
mere za frekvenciju je herc (Hz). Na primer, najdeblja
E žica na gitari ima frekvenciju oko 82 Hz, što znači
Ušna školjka
3
da kad je okinemo, ona napravi
oko 82 pomeranja tamo-nazad
preko ravnotežnog položaja. Što
je frekvencija nekog zvučnog talasa veća, naš subjektivan osećaj
je da čujemo „viši“ zvuk. Ljudsko
čulo sluha može da registruje mehaničke talase čija frekvencija je
između 16Hz i 20.000Hz.
Većina zvukova koji do nas
dopiru iz okoline je mešavina velikog broja zvučnih talasa različitih frekvencija –
mi ih registrujemo kao šumove ili buku. Međutim, ako neki zvučni izvor osciluje
pravilno, stvarajući zvučne talase tačno određene frekvencije, mi čemo taj zvuk
registrovati kao specifičan (muzički) ton. Ton je dakle zvuk koji ima četiri svoje karakteristike: visinu (koja zavisi od frekvencije zvučnog talasa), intenzitet (koji zavisi
od amplitude talasa), trajanje i boju (o čemu će biti više reči kasnije). I sad smo
stigli do početka: muzički tonovi su atomi od kojih je sastavljena svaka muzička
kompozicija.
Šta je muzika?
Kao što je teško definisati šta je matematika, imamo problema i kada treba definisati šta je muzika. Muzika je za mnoge ljude neverbalna forma komunikacije koja dotiče ljudski intelekt i može da izazove duboke ili burne emocije. Drugi smatraju da je muzika pre svega fenomen prirode, rezultat principa fizike i matematike, a da su ljudi samo otkrili, prepoznali i naučili da manipulišu s njom. Možemo takođe reći da je muzika kombinacija zvukova koji su organizovani pomoću tri dimenzije: ritma, melodije i harmonije. No, u tom slučaju isključujemo na primer rep muziku ili recimo muziku Johna Cagea. Po nekim ekstremnim
definicijama, muzika je bilo koja kombinacija zvukova koju neko negde uživa da sluša.
Zvučni talas
4
Harmonija svemira i koren iz 2
Muzika je predstavljala veoma važan deo života u Staroj Grčkoj. Smatra se da su svi građani
imali neko muzičko obrazovanje i da su bili u mogućnosti da uzmu učešće u muzičkom životu koji
je pratio javne događaje u gradu. Platon je muzici dodelio istaknutu ulogu u obrazovanju, tvdeći da
muzika doprinosi izgradnji neke vrste unutrašnje harmonije kod čoveka.
Nažalost, nemamo saznanja kako je zapravo zvučala muzika u kojoj su uživali Stari Grci. Umesto toga, ostao je zabeležen njihov doprinos teoriji muzike. Počeci teorije muzike se vezuju za
grčkog matematičara Pitagoru i njegove sledbenike, pitagorejce (6. vek pne). Polazeći od rezultata
koje su dobili izučavajući harmonije u muzici, oni dolaze do zaključka da je u osnovi svega postojećeg – broj. Smatrali su da su principi matematike – principi svega i da se harmonija univerzuma
zasniva na harmoničnim odnosima među brojevima. Početna tačka tog prilično generalnog verovanja bila je otkriće tzv. zakona malih brojeva koji na matematički način opisuje razliku između
našeg osećaja konsonantnosti (harmonije) i disonantnosti. Kratko rečeno, Pitagorin zakon malih
brojeva kaže da su dva tona konsonantna ako im frekvencije stoje u odnosu malih prirodnih brojeva. Pitagora je do tog zakona došao polazeći od rezultata eksperimenata sa zategnutim žicama
različitih dužina ili staklenim sudovima u kojima se nalazi različita količina vode. Ako krenemo od
žice određene debljine, onda visina tona koju ona proizvodi zavisi od njene dužine: što je žica kraća,
to je ton viši. Ako žicu skratimo na njenu polovinu (odnos 2:1), ton će skočiti za oktavu, ako je skratimo za jednu trećinu (odnos 3:2), ton će skočiti za kvintu, a ako žicu skratimo za jednu četvrtinu (odnos 4:3), ton će biti viši za kvartu. Kad skraćujemo dužinu žice, mi povećavamo njenu frekvenciju,
a mi procenjujemo rastojenje u „visini“ između dva tona kao odnos njihovih frekvencija. Tako,
Pitagora i pitagorejci Platon
5
možemo reći da su Pitagorejci otkrili da je odnos frekvencija između nekog tona i tona koji je za
oktavu viši 1:2, između tona i njegove kvinte 2:3, između tona i njegove kvarte 3:4, itd… Prirodno
je zapitati se kako je naš subjektivan osećaj harmonije (konsonantnosti) povezan sa odnosima
1:2, 2:3, 3:4,…? Zašto su upravo ti odnosi prijatni za nas i da li postoji neko racionalno i naučno
objašnjenje ovog fenomena? Pitagora i njegovi sledbenici su kao objašnjenje ponudili sveobuhvatnu teoriju harmonije koja je prirodno dovela do potrebe da se izučavaju pre svega prirodni
brojevi i njihovi odnosi. Interesantno je Pitagorejci do otkrića iracionalnosti broja √2 došli izučavajući jedan prirodan „muziči problem“. Znajući da oktavi odgovara odnos 1:2 između dužina odgovarajućih zategnutih žica, kolika je dužina žice čiji ton deli tu oktavu na dva jednaka dela? Ako tu nepoznatu dužinu
označimo sa x, dolazimo do sledeće jednačine: 1:x=x:2, tj. x2
=2. Naravno, mi sada znamo da je tada x= √2 , što je iracionalan broj, pa je jasno zašto Pitagorejci nisu mogli napisati tu dužinu kao odnos dva prirodna broja. Otkriće da eto već tako
jednostavno definisana veličina ne može da se opiše kao odnos dva prirodna broja, prouzrokovalo je pravu krizu u pitagorejskoj teoriji i jedno vreme je strogo čuvana kao najmračnija tajna.
Srnec Filip
Uvod
Да замислиме соло пејач каде што изведува некоја песна. Независно од квалитетот на изведбата, соло пејачот не може истовремено да пее повеќе различни мелодии. Тој има само еден глас, кој во одреден временски интервал, може да произведе само еден тон. Сега да замислиме дека на пејачот му се придружуваат уште неколку други пејачи и сите заедно формираат хор. Секој од пејачите во хорот може да пее своја мелодија и на тој начин, се па натаму, првичната композиција добива сосем нов карактер. На овој начин пејачите можат да создадат различни хармонии кои придонесуваат за полноста и ефективноста на композицијата што ја изведуваат. Во поширока смисла, терминот хармонија во музиката претставува спојување на неколку тонови заедно, кои потоа формираат акорди, множества од неколку тонови кои се појавуваат истовремено. Во случај на музички инструмент, симулираме истовремено свирење на неколку (исти) инструменти. Усогласувањето, се постигнува со комбинирање на мелодиите добиени со поместување на одреден интервал (фреквентно поместување на почетниот сигнал) во однос на дадената почетна мелодија. Како што е тешко да се дефинира што е математиката, така имаме проблеми и кога треба
треба да дефинираме што впрочем претставува музиката. Музиката е невербална форма на комуникација за многу луѓе која го допира човечкиот интелект и може да предизвика длабоки и силни емоции. Други веруваат дека музиката е првенствено феномен на природата, односно резултат на принципите на физиката и математиката, и дека луѓето само откриле, препознале и се здобиле со начин да манипулираат со неа. Можеме да кажеме дека музиката е комбинација од звуци кои се организирани во три димензии: ритам, мелодија и хармонија. Но, во тој случај ја исклучуваме, на пример, рап музиката. Така, според некоја крајна дефиниција, музиката е секоја комбинација на звуци што некој, некаде и некогаш одбира да ги слуша. За математиката можеме да кажеме дека на кој било начин има врски со сите области на човековата активност кои вклучуваат простор или време. Кога размислуваме за односот помеѓу математиката и уметноста, а особено за односот меѓу математиката и музиката, можеме да забележиме фундаментална разлика помеѓу музиката од една страна и, да речеме, сликарството, скулптурата или архитектурата од друга страна:
музиката е форма на уметност која во суштина се заснова на текот на времето, додека сликарството, скулптурата или архитектурата се статични форми на уметност. Значи, земајќи во предвид дека музиката има своја временска димензија, таа е поврзана со делот од математиката кој се занимава со функции. Но, она што ги обединува математиката и
музиката во најширока смисла е фактот дека и двете дисциплини се обидуваат да ја доловат скриената структура и хармонија во свет чии објекти се апстрактни. Потрагата по симетрија, хармонија и ред во навидум хаотичен свет на бесконечни можности е вистинското значење и на математиката и на музиката.
Osnovni pojmovi teorije glazbe
U ovom poglavlju navest ´cemo neke osnovne pojmove iz teorije glazbe koje ´cemo
koristiti u daljnjem radu. Detaljno ´cemo objasniti pojam visine tona, koji zauzima
centralnu ulogu u problemu kojim se bavimo. Nadalje, detaljnije ´cemo opisati pojam
harmonije, koji pojaˇsnjava glavni cilj ovog rada, postizanja automatske harmonizacije
poˇcetnog glazbenog signala. Na kraju poglavlja navodimo jedan primjer koji ´ce dati
dobar uvod u problem kojeg obradujemo te ´ce posluˇziti kao most izmedu teorije
glazbe i teorije digitalne obrade signala.
Ton
Svako glazbeno djelo se sastoji od tonova, koji u tom djelu, imaju toˇcno odredenu
ulogu. Intuitivno, ton oznaˇcava ono ˇsto u nekom trenutku ˇcujemo kad sluˇsamo neko
glazbeno djelo. Svaki od tonova koji se pojavljuju u glazbenom djelu ima svoju
duljinu, visinu, glasno´cu i boju, svojstva koja su direktno vezana uz fizikalna svojstva
valova koji su generirani preko glazbenog instrumenta, koji na neki odredeni naˇcin
“proizvodi” zvuk ili, naravno, ljudskog glasa. Cisti ton (engl. ˇ pure tone) je ton
POGLAVLJE 1. SIGNALI I GLAZBA 7
koji odgovara nekom sinusoidalnom valu koji, neovisno o amplitudi i fazi, ima toˇcno
odredenu frekvenciju. Ciste tonove promatramo kao osnovne gradivne elemente za ˇ
kompleksnije valove koji stvaraju glazbu na naˇcin kako ju ljudsko uho percipira.
Visina tona (engl. pitch) je apstraktni glazbeni pojam koji nam omogu´cuje poredak tonova u glazbene ljestvice. On je usko vezan uz pojam frekvencije, no ta
dva pojma nipoˇsto nisu ekvivalentna. Frekvencija je veliˇcina koja se moˇze fizikalno
izmjeriti, dok je visina tona subjektivna percepcija zvuˇcnog vala koja ne moˇze biti
egzaktno izmjerena. Visina tona nam zapravo daje neku vrstu uredaja medu tonovima. Ve´c smo naveli da je pojam visine tona usko vezan uz pojam frekvencije i
to na naˇcin da je svaki ton opisan svojom fundamentalnom frekvencijom, najniˇzom
frekvencijom pripadaju´ceg periodiˇcnog vala koji opisuje taj ton. U duhu naˇseg razmatranja u prethodnom poglavlju (vidi poglavlje 1.2), fundamentalna frekvencija je
najniˇza frekvencija od svih parcijalnih sinusoidalnih komponenti koji ˇcine glazbeni
signal. Pojam usko vezan uz pojam fundamentalne frekvencije je pojam harmonika.
Harmonik je svaka frekvencija oblika nf0, gdje je n pozitivan prirodan broj, a f0 promatrana fundamentalna frekvencija. Fundamentalna frekvencija je, takoder, (prvi)
harmonik.
Sukladno glazbenoj konvenciji, tonovi se, s obzirom na visinu, dijele u 12 klasa
koje oznaˇcavamo s C, C], D, D], E, F, F], G, G], A, B[ i B1
. Nadalje, tonovi su
rasporedeni u oktave. U svakoj oktavi se nalazi toˇcno 12 tonova, po jedan predstavnik
iz svake od klasa, u redoslijedu u kojem su prethodno navedeni. Organizacija tonova
u oktave najbolje se vidi na prikazu klavirske klavijature (vidi sliku 1.3).
Harmonija – дефиниција и објаснување
Niz tonova toˇcno odredene visine nazivamo melodija. To je ono po ˇcemu je neko
glazbeno djelo prepoznatljivo i pamtljivo. Akord je skup od tri ili viˇse tonova koji
POGLAVLJE 1. SIGNALI I GLAZBA 9
zvuˇce istodobno ili ostavljaju dojam suzvuˇcnosti. Dio teorije glazbe koji prouˇcava
akorde naziva se harmonija. Pod pojmom harmonije ˇcesto se smatra i sama gradnja
odredenog akorda s obzirom na dani poˇcetni ton. Harmonija, u tom smislu, poˇcetnu
melodiju upotpunjuje i daje joj potpuno novi smisao. Ponovno navodimo primjer
zborskog pjevanja. Solo pjevaˇc moˇze pjevati samo jednu melodiju. No, zbor moˇze
istovremeno pjevati toliko razliˇcitih melodija koliko ima pjevaˇca u zboru i pritom
stvarati razne harmonije (akorde).
Kljuˇcnu ulogu u harmoniji igraju intervali, strogo definirani razmaci medu tonovima. Osnovni intervali (unutar jedne oktave) dani su u tablici 1.2 (za detalje
vidi[2]).
Interval Razmak (polutonovi) Interval Razmak (polutonovi)
Mala sekunda 1 Cista kvinta ˇ 7
Velika sekunda 2 Mala seksta 8
Mala terca 3 Velika seksta 9
Velika terca 4 Mala septima 10
Cista kvarta ˇ 5 Velika septima 11
Pove´cana kvarta 6 Cista oktava ˇ 12
Tablica 1.2: Osnovni intervali u glazbi
Intervali mala i velika sekunda, mala i velika septima te pove´cana kvarta u praksi
daju disonantne zvukove te ih u ovom radu ne´cemo koristiti. Kao ˇsto je ve´c navedeno u uvodnom poglavlju, osnovni cilj ovog rada je razvoj algoritma za automatsko
stvaranje razliˇcitih harmonija u odnosu na poˇcetni ulazni signal.
Tonalitet
U nastavku, opisujemo pojam tonaliteta u glazbi. Definiciju tonaliteta izre´ci
´cemo samo okvirno, jer njezino obrazloˇzenje, kao i sve ostale formalne definicije teorije glazbe, nadilaze potrebe ovog rada (pozivamo ˇcitatelja da za sve detalje pogleda
knjigu [23]). Tonalitet, ili kljuˇc glazbenog djela, definira se kao grupa tonova (ljestvica) nad kojom je odredeno glazbeno djelo nastalo. Tonalitetu se daje ime s obzirom
na prvi ton koji se pojavljuje u ljestvici (prvi stupanj koji se naziva tonika).
U radu ´cemo promatrati samo durske i molske2
tonalitete. Oni se razlikuju po
naˇcinu na koji su gradeni. I durska i molska ljestvica sastoje se od 8 tonova (stupnjeva), s tim da su 1. i 8. stupanj isti ton (tonika) koji se razlikuje za toˇcno jednu
oktavu. Karakteristika durske ljestvice je da ima polustepene izmedu 3. i 4., te 7. i
2Pod pojmom molski tonalitet smatramo prirodni molski tonalitet (vidi [23])
POGLAVLJE 1. SIGNALI I GLAZBA 10
- stupnja. S druge strane, molska ljestvica ima polustepene izmedu 2. i 3., te 5. i 6.
stupnja. Svi ostali stupnjevi odvojeni su jednim cijelim stepenom. Na primjer, D dur
ljestvica sastoji se od tonova D, E, F], G, A, B, C], D. Nadalje, D mol ljestvica se
sastoji od tonova D, E, F, G, A, Bb, C, D. Uoˇcimo da u prethodnom primjeru zaista
vrijede tvrdnje iz definicije durskog, odnosno, molskog tonaliteta. Kaˇzemo da neki
ton pripada tonalitetu, ako pripada njegovoj ljestvici.
Tonalitet ´ce imati veliku ulogu u automatskom stvaranju harmonija. Naime, ako
joˇs jednom promotrimo tablicu 1.2, uoˇcit ´cemo da neki intervali imaju zajedniˇcki
drugi dio imena. To su sekunde, terce, sekste i septime3
. Razlog tome je da se
oni formalno definiraju kao razmaci izmedu, redom, dva, tri, ˇsest ili sedam tonova.
Razliku im daje naˇcin na koji su oni gradeni u smislu cijelih stepena ili polustepena.
Na primjer, terca formalno u glazbi predstavlja razmak izmedu tri tona. Mala terca
je gradena od jednog cijelog stepena i jednog polustepena, dok je velika terca gradena
od dva cijela stepena.
Prilikom stvaranja harmonija mi ne´cemo eksplicitno navoditi da ˇzelimo da na
poˇcetnom signalu bude izgraden interval male ili velike terce, jer tako ne bismo nuˇzno
dobili harmonije koje su uhu ugodne. Takav bi pristup ˇcesto rezultirao disonantnim
tonovima. Ono ˇsto ´cemo navoditi je da ˇzelimo da se nad poˇcetnim signalom izgradi
terca. O tome, da li ´ce za pojedini ton biti izgradena velika ili mala terca, brine
tonalitet u kojem se nalazimo. Naime, ako smo u C dur tonalitetu koji se sastoji od
tonova C, D, E, F, G, A, B i C i ˇzelimo izgraditi tercu na tonu C, to ´ce biti ton E,
ˇsto je interval velika terca. S druge strane, ako ˇzelimo izgraditi tercu na tonu A, to
´ce biti ton C, ˇsto je interval mala terca.
Joˇs jednom napominjemo da je ovaj prikaz osnovnih pojmova teorije glazbe neformalan te je naveden s ciljem da se dobije potrebna intuicija.
Za kraj ovog poglavlja, donosimo primjer harmonije kroz konstrukciju intervala
male terce za neki poˇcetni signal (vidi primjer 1.3.1). Radi jednostavnosti prikaza, u
ovom (i samo ovom) primjeru promatrat ´cemo kontinuirane signale.
Primjer 1.3.1. Neka je dan signal koji predstavlja ˇcisti ton A4, sinusoidalni signal
s frekvencijom 440 Hz, bez pomaka u fazi, s amplitudom 1. Zelimo nad tim poˇcetnim ˇ
tonom “izgraditi” interval malu tercu. Takoder, ˇzelimo da nakon tog imamo signal
koji predstavlja oba tona. Mala terca na tonu A4 je ton koji je udaljen od tog tona
toˇcno tri polustepena (prema “gore”). To je ton C5 s pripadaju´com fundamentalnom
frekvencijom koja iznosi 523.3 Hz. Zakljuˇcujemo da je za “gradnju” intervala male
terce na tonu A4 potrebno generirati sinusoidalni signal s frekvencijom od 523.3 Hz.
Oba sinusoidalna signala moraju imati identiˇcna svojstva, do na frekvenciju. Iz
tog razloga je amplituda novog signala jednaka 1, te, takoder, nema pomaka u fazi.
3Pove´cana kvarta je poseban sluˇcaj kojim se ne´cemo baviti u ovom radu (za detalje vidi [23]).
POGLAVLJE 1. SIGNALI I GLAZBA 11
Da bismo dobili signal koji reprezentira oba tona istovremeno, u skladu s prethodnim
razmatranjima, potrebno je zbrojiti ta dva sinusoidalna signala. Svaki od inicijalnih signala predstavlja jednu parcijalnu komponentu dobivenog glazbenog signala, koji
predstavlja interval male terce na tonu A4 (vidi slike 1.4, 1.5 i 1.6).
Slika 1.4: Cisti ton A4, sin(2 ˇ π · 440 t)
Slika 1.5: Cisti ton C5, sin(2 ˇ π · 523.3 t)
Slika 1.6: Tonovi A4 i C5 istovremeno, interval mala terca, pripadni signal je zbroj
sin(2π · 440 t) + sin(2π · 523.3 t)
- Историја Питагора
Prvi konkretni dokaz osnovne poveznice između matematike i glazbe postavio je rani
filozof i matematičar Pitagora (569. – 475. pr. Kr.), često smatran „ocem brojeva“. Također ga
možemo smatrati i „ocem harmonije“ jer su njegova otkrića alikvotnih tonova, analiza akustike i
omjera u glazbi služila kao temelj harmonije u zapadnoj glazbi. Glazba je bila grana matematike,
matematička disciplina poput geometrije ili aritmetike jer se bavila odnosima između brojeva,
omjerima i proporcijama[1].
Pitagora je rođen u 6. stoljeću prije Krista na otoku Samosu. Bio je sin draguljara
Mnesarha. Geometriju je naučio u Egiptu, o omjerima i brojevima je učio u Fenikiji, a poduku iz
astronomije je dobio u Kaldeji, glavnom središtu antičke astronomije. Pitagora je, navodno,
eksperimentirao s tonovima proizvedenim povlačenjem žica različitih duljina. Otkrio je da
određeni omjeri duljina žice daju ugodne kombinacije („harmonije“), dok drugi omjeri ne daju
ugodne tonove. Uspostavio je fiziku intervala, ili udaljenosti između nota, koja formira osnovni
harmonijski sustav koji se i danas koristi.
Također je pokazao da je glazba zasnovana na proporcionalnim odnosima. Matematička
struktura harmonijskih zvukova počinje s jednim tonom koji se prirodno pojavljuje, a u sebi
sadrži niz dodatnih frekvencija iznad svoje osnovne frekvencije (tzv. alikvotnih tonova) kojih
najčešće nismo ni svjesni. Unutar tih tonova nalazi se matematička relacija između frekvencija –
oni su cjelobrojni višekratnici jedni drugih. Na primjer, ako je osnovna frekvencija 100 Hz, onda
bi alikvotni tonovi bili 2 ∙ 100 (200 Hz), 3 ∙ 100 (300 Hz) i tako dalje.
Pitagora je promatrajući žice došao do zaključka da što je žica kraća, to je ton viši. Ako
žicu skratimo za njenu polovinu (2:1), ton će skočiti za oktavu. Ako je skratimo za jednu trećinu
(3:2), ton će skočiti za kvintu, te ako je skratimo za jednu četvrtinu (4:3), ton će biti viši za
kvartu. Ako “visinu” tona procjenjujemo kao odnos njegovih frekvencija, kada skraćujemo
duljinu žice mi joj zapravo povećavamo frekvenciju. Iz toga izvodimo zaključak da su
Pitagorejci otkrili da je odnos frekvencija između nekog tona i tona koji je za oktavu viši 2:1,
između tona i njegove kvinte odnos je 3:2, itd. Upravo ovi rezultati su Pitagorin najtrajniji
doprinos teoriji glazbe.
- Звуј и бранови
3.1 Što je zvuk?
Da bi se zvuk mogao širiti, potreban mu je određeni mediji(sredstvo), najčešće zrak.
Zvuk se javlja kao vibracija zraka. Da bi razumjeli zvuk kako treba, moramo dobro zamisliti
kako zrak zapravo izgleda. Zrak je plin, što znači da atomi i molekule nisu toliko blizu jedni
drugima kao što sto su u tekućinama ili krutinama. Zašto onda molekule zraka jednostavno ne
padnu na pod?
Odgovor je sadržan u ekstremno brzom gibanju tih atoma i molekula. Prosječna brzina
gibanja molekula zraka na sobnoj temperaturi u normalni uvjetima iznosi oko 450 – 500 metara
u sekundi. Prosječna putanja slobodnog gibanja molekule zraka iznosi 6 ∙ 10-8 metara, što znači
da u prosjeku molekula pređe ovu udaljenost prije sudara s ostalim molekulama zraka. Sudar
između molekula je elastičan, pa ih to ne usporava.
Sada možemo izračunati koliko često se određena molekula sudara s drugom. Frekvencija
sudara dana je sljedećom formulom:
frekvencija sudara = 𝑝𝑟𝑜𝑠𝑗𝑒č𝑛𝑎 𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎
𝑝𝑟𝑜𝑠𝑗𝑒č𝑛𝑎 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑛𝑗𝑎
≈ 1010 sudara u sekundi
Sada imamo dobru ideju zašto molekule ne padaju na pod. Prije padanja na pod se odbijaju
nazad.
Zrak se sastoji od velikog broja molekula u neposrednoj blizini, koje se neprestano
odbijaju jedne od drugih stvarajući privid tlaka zraka. Kada objekt vibrira, on uzrokuje valove
promjenjivog tlaka, koje uho percipira kao zvuk.
Zvuk se širi zrakom s otprilike 340 metara u sekundi. To ne znači da se bilo koja
molekula zraka giba u smjeru vala ovom brzinom, nego da se poremećaj tlaka širi ovom
brzinom. Slično se događa s površinom mora kada val njome prolazi; niti jedna određena
molekula se ne giba zajedno s valom, nego se poremećaj na površini širi.
Postoji velika razlika između zvučnih valova i valova na vodi. U slučaju valova na vodi, lokalna
gibanja su gore i dolje, što je okomito na smjer širenja vala. Takve valove nazivamo
transverzalnim. Elektromagnetski valovi su također transverzalni. U slučaju zvuka, gibanje je u
istom smjeru kao i širenje. Valove s tom karakteristikom nazivom longitudinalnim valovima.
Slika 3.1. Prikaz longitudinalnog vala
4
3.1.1 Класификација на звукот
Zvuk možemo podijeliti u četiri glavne skupine, pri čemu su skupine određene na temelju
frekvencije samog zvuka. Prva skupina su zvukovi koje ljudsko uho čuje, a nalaze su rasponu
frekvencija od 16 Hz do 20000 Hz. Zvukove s frekvencijama nižim od 16 Hz nazivamo
infrazvukom, dok frekvencije više od 20000 Hz pripadaju ultrazvuku. Ako je frekvencija viša od
1 GHz, onda takve zvukova nazivamo hiperzvukom.
3.1.2 Brzina zvuka
Brzina zvuka ovisi o mediju u kojem se širi, točnije o njegovoj gustoći. Tako će se zvuk
širiti brže u plinovima i tekućinama nego u krutinama. Isaac Newton je brzinu zvuka definirao
kao drugi korijen omjera tlaka koji djeluje na mediji i gustoće samog medija.
𝑣 = √
𝑝
𝜌
[
𝑚
𝑠
] .
Kasnije je francuski matematičar Laplace pokazao da širenje zvuka nije izotermalno, nego
adijabatsko, te je dodao novi faktor u formulu, γ (adijabatski koeficijent). Konačna jednadžba,
koja se još i naziva Newton – Laplace jednadžba, izgleda:
𝑣 = √
γ𝑝
𝜌
.
3.1.3 Jakost zvuka
Jakost zvuka I, odnosno energija zvučnog vala, proporcionalna je frekvenciji, amplitudi,
brzini zvuka i gustoći medija, te glasi:
𝐼 =
1
2
𝜔
2𝐴
2𝜌𝑣.
Predstavlja energiju vala u vremenskom intervalu kroz površinu okomitu na smjer širenja vala.
Mjerna jedinica je [W/m2
] (vat po metru kvadratnom). Prag čujnosti za ljudsko uho, odnosno
minimalna jakost zvuka koje osoba čuje iznosi:
𝐼0 = 1
𝑝𝑊
𝑚2 = 1 ∙ 10−12 𝑊/𝑚2
.
Razina jakosti zvuka (oznaka L) je mjerna veličina prilagođena osjetljivosti ljudskoga uha,
deseterostruki logaritam omjera jakosti nekoga zvuka i praga čujnosti, odnosno:
𝐿 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10 (
𝐼
𝐼0
) [𝑑𝐵].
3.1.4 Percepcija zvuka
Zvučni valovi imaju četiri glavna svojstva koja utječu na način kojim ih zapažamo. Prvi je
amplituda, koja opisuje veličinu vibracije, te se očituje kao glasnoća. Amplituda zvuka je jako
mala, obično mali dio milimetra. Drugo svojstvo je visina, koja zapravo predstavlja frekvenciju
5
vibracije. Treći je boja, koja odgovara obliku frekvencijskog spektra zvuka. Te posljednji je
trajanje, koji predstavlja duljinu vremena u kojem čujemo zvuk.
Ovakva notacija nije stroga iz više razloga. Većina vibracija se ne sastoji od samo jedne
frekvencije i određivanje određene frekvencije je teško. Drugi razlog je što ova svojstva trebaju
biti definirani u smislu percepcije zvuka, a ne samog zvuka. Na primjer, percipirana visina zvuka
može predstavljati frekvenciju koja se zapravo ne nalazi u valu. Ovaj fenomen pripada znanosti
psihoakustike
- HARMONIJA
4.1 Alikvote ili harmonici
Kada nota ima određenu visinu, s frekvencijom v, zvuk je zapravo periodičan s tom
frekvencijom. Fourierova teorija reda, koja je objašnjena u poglavlju 4.3, pokazuje da se takav
zvuk može prikazati kao zbroj sinusnih valova s različitim faznim pomacima, na cjelobrojnim
višekratnicima frekvencije v. Komponenta zvuka s frekvencijom iznosa v naziva se osnovni ton.
Komponenta s frekvencijom nv se naziva n-ti harmonik ili (n – 1)-ta alikvota. Na primjer, za n =
3, dobivamo treći harmonik ili drugu alikovtu[3].
4.2 Jednostavni cjelobrojni omjeri
Zašto dvije note koje su udaljene za oktavu zvuče konsonatno, dok dvije note udaljene za
malo više ili malo manje od oktave zvuče disonantno? Konsonanca i disonanca predstavljaju
kategorizaciju istodobnih i uzastopnih tonova. Konsonanca predstavlja kombinaciju tonova koja
kod slušatelja izaziva dojam sklada i ugode, dok disonanca izaziva dojam neslaganja i
nesuglasja[4].
Interval jedne oktave odgovara udvostručavanju frekvencije vibracije. Na primjer, ton A iznad
srednjeg C odgovara frekvenciji od 440 Hz, dok A ispod srednjeg C odgovara frekvenciji od 220
Hz. Ako odsviramo ove note na žičanom ili puhačkom instrumentu, svaka nota će sadržavati ne
samo komponentu na toj određenoj frekvenciji, nego i alikvote koje odgovaraju cjelobrojnom
višekratniku te frekvencije. Za te dvije note imat ćemo alikvote na:
440 Hz, 880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz, …
220 Hz, 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz, …
Ako u drugu ruku, odsviramo dvije note s frekvencijama na 445 Hz i 220 Hz, onda se alikvote
pojavljuju na:
445 Hz, 890 Hz, 1335 Hz, 1780 Hz, . . .
220 Hz, 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz, 1320 Hz, . . .
Slika 4.1 Osnovne frekvencije i njene alikvote
13
Postojanje komponenti na 440 Hz i 445 Hz, i na 880 Hz i 890 Hz, i tako dalje, uzrokuje osjećaj
grubosti koje naše uho interpretira kao disonancu.
Zbog ekstremne konsonance intervala oktave, te njezine uloge u nizu alikvota, ljudski
mozak često percipira dvije note koje su udaljene za oktavu kao istu notu, ali s različitim
visinama. Kada zbor pjeva jednoglasno, to uobičajeno znači da muškarci i žene zapravo pjevaju
udaljeni za oktavu.
Glazbeni interval savršene petine[3] odgovara omjeru frekvencija 3:2. Ako dvije note
odsviramo s tim omjerom, onda će se treća alikvota niže note poklopiti s drugom alikvotom više
note, te će te note imati zajedničke više harmonike. Ako je ipak omjer malo drukčiji od 3:2, onda
će se pojaviti osjećaj grubosti između treće alikvote nižeg tona i druge alikvote višeg tona, te će
te note zvučati disonantno.
Pitagora je ovo otkrio u 6.st.pr.Kr. Pokazao je da kada dvije slične žice jednako nategnute
proizvedu zvuk zajedno, one daju ugodan zvuk ako su duljine žica u omjeru malih cijelih
brojeva.
Apstrakt. Rad ima za cilj da predstavi specifičnosti ispoljavanja proporcije zlatnog
preseka i Fibonačijevog niza u muzici s posebnim osvrtom na Bartokovo stvaralaštvo.
Kako analize mađarskog autora Ernea Lendvaija predstavljaju prve pokušaje da se
pomenuti fenomeni sagledaju u okvirima muzičkog dela, u tekstu je naročita pažnja
posvećena upravo njegovim teorijskim i analitičkim dostignućima1
. U radu je ukazano
na neke od problema vezanih za razmatranje zlatnog preseka u muzici, uz nastojanje
da se odgovori na dva pitanja: kada su kompozitori počeli da primenjuju tu proporciju,
i koji su bili njihovi mogući motivi za takav postupak? Pitanje Bartokove motivacije
za upotrebu zlatnog preseka i Fibonačijevog niza sagledano je sa aspekta njegovih
panteističkih shvatanja i težnje da u muziku implementira prirodne zakone.
Ključne reči: Bartok, Lendvai, zlatni presek, priroda,proporcija
Prve analize posvećene razmatranju Fibonačijevog niza i proporcije zlatnog preseka
u muzici pojavile su se pedesetih i šezdesetih godina prošlog veka. Na tom području
istraživanja, studije Ernea Lendvaija (Ernő Lendvai, 1925–1993) predstavljaju pionirsko
dostignuće. Taj mađarski teoretičar je, dajući sveobuhvatnu analizu Bartokovog
(BélaBartók) stvaralaštva, veći deo svojih radova posvetio izučavanju pomenutih
fenomena u kompozitorovim delima. Lendvai je u svojoj kompleksnoj teoriji putem
1 U studijama domaćih autora, Lendvaijeve analize i pitanje ispoljavanja zlatnog preseka i
Fibonačijevih brojeva u muzici uopšte, sagledani su samo u poglavljima pojedinih studija i u nekoliko
tekstova: Jadranka Jablan-Hofman. (1995) Simetrija muzičkog dela. Beograd; Аница Сабо. (1997).
Посебност Бартоковог односа према златном пресеку у процесу обликовања музичког тока;
у: Изузетност и сапостојање. Београд, 131–139; Anica Sabo. (1993). Bela Bartok Simetrija, u:
Simetrija, kultura i nauka. Beograd, 85–86.
Daniela Vesić
Zlatni presek i Fibonačijev niz u muzici –osobenosti
Bartokovog stvaralačkog pristupa
UDC 78.071.1:929 Bartók B.
UDC 781
199
MUZIKA U NAUCI I PRAKSI
zlatnog preseka i Fibonačijevog niza u jedan skup obuhvatio i povezao sve elemente
Bartokovog muzičkog mišljenja: intervalske strukture, tonalitet, melodiju, ritam i metar,
kao i principe makroformalne i mikroformalne organizacije dela2
.
Polazeći od teze da je umetnost pitanje ravnoteže i odnosa delova prema celini,
problem proporcionalnosti pokazuje se kao jedan od njenih ključnih činilaca. Kako
Prija Heminvej (Hemenway, 2008: 91) navodi slike, skulpture, arhitektonska i muzička
ostvarenja su u svojoj pojavnosti organizovani prema jednom skrivenom smislu
za proporciju, a pred analitičara se postavlja zadatak tumačenja dejstva i efekata te
proporcije unutar određenog dela. Upravo u svetlu te teze treba posmatrati i teorijska
i analitička nastojanja Ernea Lendvaija, da posredstvom geometrijsko–matematičkih
principa „dešifruje“ različite elemente Bartokove kompozicione organizacije.
Lendvaijeve studije iz pedesetih i šezdesetih godina prošlog veka su, kao što je
pomenuto, označile početak iscrpnih izučavanja zlatnog preseka i Fibonačijevog niza
na području muzike. Međutim, sagledavanje tih fenomena u različitim naučnim i
umetničkim oblastima ima znatno dužu istoriju. Iako nije tačno poznato kada je srazmera
koju danas poznajemo pod nazivom zlatni presek3
bila otkrivena i prvi put praktično
primenjena, opšte je prihvaćeno stanovište da veliki deo nauke o ovoj proporciji potiče
od antičkih Grka. Dok zlatni presek ima „zagonetnu istoriju“, opšte je poznato da je
Fibonačijev niz otkrio Leonardo iz Pize, zvani Fibonači (Fibonacci, 1170–1240). Taj
srednjovekovni matematičar je u svom delu Liber abaci (1202) biološkom metaforom
predstavio sledeći matematički problem: koliko će se pari zečeva dobiti tokom jedne
godine od jednog para, ako svaki par svakog meseca rađa novi par, koji je već od drugog
meseca u stanju da rađa. Rešavajući tu zagonetku, zaključio je da broj pari zečeva na
kraju svakog meseca odgovara zbiru parova iz prethodna dva meseca. Na taj način
je došao do specifičnog brojčanog sleda u kojem svaki naredni broj odgovara zbiru
prethodna dva broja:1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54, 89, 144, 233.
Prikazan numerički niz je tokom vremena, zbog svojih jedinstvenih karakteristika,
postao predmet brojnih naučnih istraživanja. Među mnogim specifičnostima koje
poseduje, jedna od najznačajnijih se odnosi na povezanost sa zlatnim presekom.
Proporcija zlatnog preseka zasniva se na deobi celine na dva dela, pri čemu se celina
prema većem delu odnosi kao veći prema manjem. Taj odnos se iskazuje formulom
A:B=B:C pri čemu A označava celinu, B veći deo, a C manji deo celine (Prilog 1). Ako
se celina označi sa 1 (jedan), onda je vrednost većeg dela približno 0.618… a manjeg
0.382, pa je pomenuti odnos moguće iskazati na sledeći način:
2 U studiji Bartók stílusa Lendvai prvi put iznosi principe svog teorijskog sistema i primenjuje ih u
analizi Bartokovih kompozicija Sonata za dva klavira i udaraljke i Muzika za žičane instrumente,
udaraljke i čelestu. Ernő Lendvai. (1955). Bartók stílusa. Budapest.
3 Termin zlatni presek, (Goldener Schnitt) skovao je Matrin Om (Martin Ohm) 1835. godine. U periodu
antike ta proporcija je nosila ime podela u srednjoj i krajnjoj razmeri, a u renesansi je nazivana
božanskom proporcijom.
200
DANIELA VESIĆ
1 : 0,618 = 0,618 : 0.3824
. Fibonačijeva sekvenca je srodna sa zlatnim presekom, jer
se deljenjem svakog njenog broja sa sledećim brojem niza, dobija otprilike 0,618…, dok
se deljenjem svakog broja sa prethodnim dobija približno 1,618…
Zlatni presek i Fibonačijevi brojevi bili su vekovima sagledavani isključivo kao
geometrijski i matematički problemi. Do preokreta je došlo u 19. veku kada je Adolf
Cajzing (Adolf Zeising) naučnim analizama počeo da istražuje ispoljavanje tih fenomena
u različitim oblastima prirode i umetnosti. Došavši do zaključka da pojedine biljke,
delovi ljudske anatomije, kao i određeni primeri klasične skulpture očituju uređenje
prema principu zlatnog preseka, Cajzing je u svojim studijama (Neue Lehre von den
Proportionen des menschlichen Körpers, 1854; Ästhetische Forschungen, 1855; Die
Proportionen von reinen antiken Statuen, 1856) postavio teoriju o tome da je čitav
univerzum izgrađen u skladu s tom proporcijom. Pod njegovim uticajem je teza o
zlatnom preseku kao božanskom, kosmičkom i metafizičkom zakonu postala gotovo
opšte prihvaćena.
Drugi istaknuti teoretičar 19. veka – začetnik eksperimentalne estetike i psihologije
–Teodor Fehner (Theodor Fechner) je svojom studijom Vorschule der Ästhetik (1876)
u raspravu o zlatnom preseku uneo novu dimenziju. Njegovi eksperimenti izazvali
su veliko interesovanje, pa je od tada, pitanje estetskog uporišta pomenute proporcije
postalo predmet interesovanja mnogih teoretičara i naučnika. Fehner je, praktikujući
metod izbora, pripremio deset pravougaonika s jednakim površinama, ali različitih
oblika, i od ispitanika tražio da pokažu koji im je od tih oblika najprijatniji. Rezultat
eksperimenta pokazao je da je takozvani zlatni pravougaonik sa srazmerom 34:21 (u
pitanju su brojevi Fibonačijevog niza, tj. proporcija zlatnog preseka), dobio najveći broj
pozitivnih glasova, pa je Fehner na osnovu toga zaključio da određene srazmere „same
po sebi imaju specifičnu estetsku vrednost“5
.
Problem estetskog značenja zlatnog preseka je tokom 19. i u prvoj polovini 20.
veka postao predmet brojnih diskusija i teorijskih rasprava. Vilhelm Vunt (Wilhelm
Wundt) je smatrao da smo mi, kad osetimo zadovoljstvo zbog nekog primera zlatnog
preseka, zaista svesni matematičkog odnosa: „Srazmera u kojoj se celina odnosi prema
svom većem delu, kao veći prema manjem oseća se kao sredstvo ujedinjenja najvećeg
mogućeg mnoštva uz najmanji mogući napor“ (Gilbert-Kun, 2004: 381). Tako bi estetsko
zadovoljstvo, kako zaključuje Vunt, bio rezultat „mentalne ekonomije“. Nasuprot tome,
Lajtner Vitmer (Lightner Witmer) je tvrdio da je estetska delotvornost matematičkog
4 U zavisnosti od toga da li se u okviru celine najpre pojavljuje veći pa manji deo ili obrnuto,
razlikujemo pozitivan, odnosno negativan zlatni presek. Izračunavanje pozitivnog zlatnog preseka
obavlja se množenjem broja koji označava celinu sa 0,618, dok se pri izračunavanju negativnog
zlatnog preseka, taj broj množi sa 0,382.
5 Lightner Witmer. (1893). „Zur experimentellen Ästhetik einfacher räumlicher Formverhältnisse“.
Philosophische Studien, 209, prema: K. Gilbert, H. Kun. Istorija estetike, 381.
201
MUZIKA U NAUCI I PRAKSI
odnosa kao takvog neprihvatljiva, jer postoji samo jedan osnovni princip: jedinstvo u
raznovrsnosti. Dok u simetriji preovlađuje prvi elemenat – jedinstvo (ili faktor estetske
jednakosti), u zlatnom preseku glavnu ulogu igra raznovrsnost, ili faktor estetskog
kontrasta. Otuda je ova proporcija, prema Vitmeru, „tačna sredina između preterane i
nedovoljne raznovrsnosti“ (Gilbert-Kun, 2004: 381).
Naučnici 20. i 21. veka, su po uzoru na Cajzinga, Fehnera i druge teoretičare i
naučnike prethodnog perioda, nastavili sa izučavanjima zlatnog preseka i Fibonačijevih
brojeva, te su utvrdili da princip te proporcije, odnosno numeričkog niza, reguliše
izuzetno veliki broj različitih odnosa u svetu koji nas okružuje. Tako je pojava pomenutih
fenomena, osim u biljnom i životinjskom svetu, ljudskoj anatomiji, građi geometrijskih
oblika, umetničkim i arhitektonskim delima, počev od 20. veka uočena i u muzici, a
poslednjih decenija razmatrana je i u okviru užih naučnih oblasti kao što su psihologija
međuljudskih odnosa, teorija haosa, analiza DNK, kvantna mehanika itd 6
.
Bartokov panteizam – zakoni prirode u medijumu muzike
U domenu muzike, zlatni presek i Fibonačijev niz razmatrani su sa aspekta građe
instrumenata, akustike i kompozicione strukture. Njihova zakonitost je uočena u
proporcijama violine i flaute, ali i u poretku dirki klavijature: oktava ima osam belih
dirki, i pet crnih, grupisanih po dve ili tri (2:3:5:8). Odnosi frekvencija među tonovima,
kako je utvrđeno, takođe podražavaju pomenutu proporciju, pa tako u sazvučju male
sekste tonovi stoje u odnosu 8:5 (ili 5:8), čiji je količnik 8/5=1,6 blizak zlatnom preseku
(=1,618…). Treći, i možda najinteresantniji aspekt opažanja zlatnog preseka u muzici,
odnosi se na sagledavanje njihovog dejstva u određenoj kompoziciji. Premda se taj
postupak može primeniti na gotovo sve muzičke komponente, razmatranje povezanosti
ove proporcije i formalnog obrasca predstavlja posebno značajnu analitičku oblast, jer
u najvećoj meri ukazuje na izbalansiranost, skladnu proporcionalnost i jedinstvenost
koncepcije dela.
Zahvaljujući Lendvaijevim iscrpnim analizama, Bartokov opus danas predstavlja
jedno od ključnih uporišta u istraživanju zlatnog preseka u muzici. Taj teoretičar je
pokazao kako se pomenuta proporcija u pojedinim ostvarenjima mađarskog kompozitora
ispoljava u gotovo „svim porama muzičkog tkiva“ (Sabo, 1993: 85). U tom smislu je
posebno karakterističan prvi stav Muzike za žičane instrumente, udaraljke i čelestu7
.
6 Najkarakterističniji, i u literaturi najčešće pominjani primeri ispoljavanja zlatnog preseka i
Fibonačijevog niza u prirodi, nauci i umetnosti su pentagram, logaritamska spirala (Prilog 2), cvet
suncokreta (Prilog 3), šišarka, školjka, grčki hram Partenon, Da Vinčijeva Mona Liza itd.
7 Detaljniju analizu videti u: Аница Сабо. (1997) „Посебност Бартоковог односа према златном
пресеку у процесу обликовања музичког тока“ у: Изузетност и сапостојање. Београд, 131–
139.
202
DANIELA VESIĆ
Bartok je ovde primenio zlatni presek putem zakonitosti Fibonačijevog niza8
čije se
dejstvo može sagledati i na makroformalnom i na mikroformalnom planu stava. Ukoliko
se za osnovnu jedinicu mere proglasi takt, uočava se da se svi važni prelomi u muzičkom
toku odigravaju na mestima koja su vezana za Fibonačijev niz brojeva. U globalnoj
koncepciji tog stava pisanog u obliku fuge, zastupljena je deoba u proporciji 55:34 koja
pokazuje karakteristike pozitivnog zlatnog preseka (veći deo pa manji), i najvidiljivija
je u pogledu dinamike (pojačanje zvuka od p do fff). Veoma osoben sistem veza koji
takođe odgovara Fibonačijevom nizu uočava se posmatranjem odnosa susednih odseka
forme (Primer 1):
Primer 1
Bela Bartok, Muzika za žičane instrumente udaraljke i čelestu, I stav
Oblikovanje formalne građe kompozicije prema proporciji zlatnog preseka uočljivo je
i u brojnim delima drugih kompozitora –od srednjоvekovnih do savremenih9
. U Šopeno8 U analizi zakonitosti Fibonačijevog niza na formalnom planu dela, on se obično poistovećuje sa
zlatnim presekom, jer su, kao što je pomenuto, odnosi susednih brojeva niza regulisani prema principu
zlatnog preseka. Međutim, Fibonačijev niz se u muzici uočava i neovisno o njegovoj povezanosti sa
zlatnim preskom, i to u akordskim i melodijskim strukturama čiji intervali po broju polustepena
odgovaraju pojedinačnom broju unutar niza. Tako mala sekunda, velika sekunda, mala terca, čista
kvarta, mala seksta i mala nona predstavljaju muzički pandan numeričkom nizu 1:2:3:5:8:13.Više o
ovome videti u: Ernő Lendvai. (1999). Bartók’s Style. Budapest.
9 Larson Paul. (1978). „The Golden Section in the Earliest Notated Western Music“; u: Fibonacci
Quarterly. 16, 513–515; Sandresky Margaret Vardell. (1981).„The Golden Section in Three
Byzantine Motets of Dufay“; u: Journal of Music Theory, 25, 291–306; Perry-Camp Jane. (1968).
Temporal Proportions: A Study of Sonata Forms in the Piano Sonatas of Mozart. Tallahassee: Florida
State University diss; Demaree Robert William Jr. ( 1973). The Structural Proportions of the Haydn
Quartets. Bloomington: Indiana University diss; Courtney S. Adams. (1996) „Erik Satie and the
Golden Section Analyses“; u: Music and Letters, Vol. 77, No. 2, 242–252; Valeria Tsenova. (2002)
„Magic numbers in the music of Sofia Gubaidulina“; u: Музикологија. Beograd, 2, 253–261.
203
MUZIKA U NAUCI I PRAKSI
vom (Chopin) Preludijumu, op. 28, br.1 u C-duru, koji se sastoji od 34 takta, tačka zlatnog
preseka podudara se sa melodijskim i dinamičkim vrhuncem. Naime, dinamički fortisimo
i melodijska kulminacija u 21. taktu, vrše podelu kompozicije u odnosu 21:34≈0,6176
u skladu sa pomenutom proporcijom. U Dijabeli varijacijama, op.120 Ludviga van Betovana (Ludwig van Beethoven), prelazak na takt 6/4 nastupa u 20. varijaciji, tj. u tački
pozitivnog zlatnog preseka (20/33≈0,61). Posmatranjem ukupnog broja taktova Satijevih
(Satie) Gimnopedija (203=78+65+60), uočava se da tačka negativnog zlatnog preseka
77.546 (203 x 0.382=77.546≈78) odgovara broju taktova prve kompozicije u zbirci. U
Debisijevoj (Debussy) klavirskoj kompoziciji Odblesci u vodi, pozitivan zlatni presek u
taktu 58, poklapa se sa dramaturškom kulminacijom dela (94 x 0.618 = 58.092).
Zbog velikog broja muzičkih primera u kojima se zapaža formalno uređenje prema
zlatnom preseku, u teorijskim i analitičkim raspravama pokrenuto je pitanje o tome da li
se radi o svesnoj nameri umetnika da tu proporciju primeni u stvaralačkom postupku, ili
je reč o njegovom instinktivnom delanju, odnosno o komponovanju prema „unutrašnjem
osećaju za harmoniju i ravnotežu“. Kako Rut Tatlau (Ruth Tatlow) smatra, puko
uočavanje zakonitosti pomenute proporcije u nekom delu, ne dokazuje da ju je stvaralac
svesno primenio. Uprkos tome što je zlatni presek uočen i u muzičim delima ranijih
epoha, autorka ističe da su kompozitori tu proporciju svesno počeli da upotrebljavaju tek
s kraja 19. i početka 20. veka. Zahvaljujući velikom odjeku Fehnerovih eksperimenata,
interesovanje za izučavanje zlatnog preseka se iz Nemačke ubrzo proširilo i u druge
zemlje. U tim okolnostima su, kako autorka smatra, umetnici i kompozitori počeli da
primenjuju tu proporciju u stvaralačkom postupku, ispitujući njene estetske potencijale
i efekte u oblikovanju muziče forme (Tatlow, 2006: 77).
U skladu sa tvrdnjama Rut Tatlau, Hauvat (Roy Howat) ističe da je Debisi, kao
jedan od najznačajnijih stvaraoca s kraja 19. i početka 20. veka svesno primenjivao
zlatni presek i Fibonačijeve brojeve. Motive za taj postupak, autor povezuje sa
kompozitorovom „upletenošću“ u simbolistički pokret i sa njegovim proučavanjem
ezoteričnih doktrina (Howat, 1983b, 163–183). Adams tvrdi da je i Sati svesno
primenjivao zlatni presek i Fibonačijeve brojeve (iako za tu tvrdnju, kao i u Debisijevom
slučaju nema pisanih dokaza), jer je pripadao krugu umetnika zainteresovanih za
numerologiju i misticizam 10.
Bela Bartok je, kao i Sati i Debisi, živeo i stvarao u vreme „naglog širenja atrakcije
zlatnog preseka“. Motivi mađarskog kompozitora za primenu ove proporcije nisu, kao
u slučaju dvojice francuskih stvaraoca, vezani za ezoteriju ili misticizam, ali se može
reći da proističu iz njegovih filozofskih i duhovnih shvatanja. Bartok je u više navrata
10 Tom krugu pripadali su Satijevi bliski prijatelji, slikari, Žuan Gri (Juan Gris), Andre Lote (Andre
Lothe) i Đino Severini (Gino Severini,) za koje je na osnovu pisanih dokaza utvrđeno da su izučavali
i primenjivali zlatnu proporciju. Courtney S. Adams. (1996). „Erik Satie and Golden Section
Analyses“; u: Music & Letters, Vol. 77, No. 2. Oxford , 242–252.
204
DANIELA VESIĆ
isticao da treba stvarati po uzoru na prirodu, jer je ona „simbol slobode i jednakosti“,
i „kreativna snaga života“. Smatrajući da umetnik mora biti ispunjen entuzijazmom za
„Trojstvo Prirode, Nauke i Umetnosti“, (Harley, 1995: 329) i sâm je stremio ka tome
da svojim delima izrazi divljenje prema toj vrsti kosmičkog jedinstva. Poznato je da je
Bartok bio veoma fasciniran građom šišarki i suncokreta i da je ovu fascinaciju nastojao
da izrazi putem muzike (Bahman, 2003: 90). Stoga se može reći da je on, u težnji da
u umetničku kreaciju unese prirodne zakone, uzimao biljni svet kao jedan od glavnih
uzora.
Imajući u vidu kompozitorove navedene iskaze, nameće se zaključak da njegov
stvaralački pristup odgovara panteističkim shvatanjima11. Zamisao o „Trojstvu Prirode,
Nauke i Umetnosti“ kompatibilna je s panteističkom idejom o međusobnom prožimanju
te tri sfere pri čemu umetnost i nauka, stoje u funkciji istraživanja i otkrivanja prirode.
Razmatrajući Bartokovu muziku iz ugla teorije prirode, Lendvai je naglasio da se kroz
celokupno stvaralaštvo kompozitora provlači „ideja velikog oslobođenog panteizma“
(Lendvai, 1972: 123), dok je Sabolči (Szabolcsi) izneo sličan zaključak istakavši da
„panteistički kredo“ predstavlja ključ Bartokove umetničke ličnosti 12.
Pitanje ispoljavanja zlatnog preseka u Bartokovom opusu moguće je razmatrati
upravo u svetlu njegovog panteističkog nastojanja da svoje kompozicije oblikuje u skladu
sa prirodnim zakonitostima. U razumevanju Bartokove motivacije za primenu zlatnog
preseka uputno je poći i od Hamvaševog (Béla Hamvas) tumačenja kompozitorovog
stvaralačkog pristupa. Ukoliko se prihvati teza mađarskog književnika, da je Bartok
„izgradio svet koji osluškuje biološku neprekidnost“, (Hamvas, 1993: 615–620) onda
se u tom svetlu zlatni presek može posmatrati kao kompozitorovo glavno sredstvo
unošenja organsko–biološke suštine u muzički tok dela. Taj zaključak se podudara i
sa Lendvaijevim stavom da se pomenuta proporcija, u kompozitorovoj muzici, javlja u
funkciji organskog elementa njene dramaturgije. Autor je, sagledavajući Bartokova dela
sa aspekta muzičke analize i sa aspekta teorije prirode, ustanovio da se zlatni presek u
njima ispoljava kao ideja koja simbolizuje organsku egzistenciju (Lendvai, 1993: 19).
Navedene teze upućuju na zaključak da je pojava zlatnog preseka u Bartokovim
ostvarenjima rezultat svesnog, a ne instinktivnog delanja. Iako se Lendvai nije posebno
bavio analizom ovog problema, iz njegovih iskaza se stiče utisak da on uopšte ne
dovodi u pitanje Bartokovu svesnu primenu ove proporcije. Ipak, pojedini autori, i
to uglavnom Lendvaijevi sledbenici, iznose suprotno stanovište. Tako Peter i Tibor
11 Prema definiciji Pola Harisona umetnici panteističke orijentacije, uzimaju prirodu kao glavnu
inspiraciju, stvarajući njene refleksije, meditacije i varijacije, dok njihova dela otkrivaju duboku
opsesiju prirodnim formama, i predanost ka njihovom izučavanju. Paul Harisson. (2002). „Pantheist
art: the primacy of nature“; u: Pan, The QuaterlyMagazine of the World Pantheist Movement. No. 9.
Newtown, , 1–3.
12 Bence Szabolcsi,. (2002). „Man and nature in Bartók’s world“; Bartok Studies, Ed. Tod Crow.
(1976). Detroit, 63–75; prema: Maria Ana Harley, op.cit, 329.
205
MUZIKA U NAUCI I PRAKSI
Bahman (Bachmann), i pored toga što skreću pažnju na Bartokov princip unošenja
prirodnih zakonitosti u muziku, tvrde da kompozitor nije svesno primenjivao zakonitost
te proporcije. Objašnjavajući razloge za takvo tumačenje, autori navode da je „malo
verovatno da bi kompozitor, koji nije ujedno i fizičar i matematičar uzimao u obzir
proračune dok komponuje“ (Bahman, 2003: 94). Šomfai (Somfai) zauzima sličan stav
smatrajući da se zlatni presek u delima mađarskog kompozitora javlja kao rezultat
njegovog „jakog instinkta“, a kao glavni argument ističe nepostojanje dokumenta
koji bi upućivao na to da je kompozitor pri stvaranju svojih dela vršio numeričke
kalkulacije13.
Međutim, Roj Hauvat, zastupajući stav o Bartokovoj svesnoj primeni zlatnog
preseka i Fibonačijevih brojeva, navodi da je tajnovitost bila jedna od kompozitorovih
karaterističnih osobina, te da bi se u tom svetlu, uprkos nepostojanju pisanih dokaza,
zlatni presek u njegovoj muzici mogao tumačiti kao „tajna upisana u partituru“. Hauvat
dalje ističe da je malo verovatno da bi Bartok, uz radoznalu preokupiranost građom
šišarki i suncokreta, i nastojanje da njihovu strukturu implemenitra u svoju muziku,
nesvesno, odnosno nenamerno oblikovao svoja dela prema zakonu pomenute proporcije
(Howat, 1983a: 69–95).
Opšte karakteristike Bartokovog umetničkog pristupa i njegove panteističke težnje
da u muziku unese prirodne zakone su, čini se, najjači argumenti koji idu u prilog tezi
o njegovoj svesnoj primeni zakona zlatnog preseka i Fibonačijevih brojeva. Stav Lasla
Šomfaija o kompozitorovom „jakom instinktu“, i skeptičnost autorskog para Bahman
o matematičkim proračunima u kompozicionom postupku upućuju na odbacivanje
svake racionalne estetike i činjenice da je umetničko delo „predstava koja u osnovi
sadrži racionalan zakon o proporciji“14. Kako Gostuški ističe, najčešće se previđa to da
shematično i intuitivno služe jedno drugom, i da je jedan od glavnih ciljeva umetničke
geometrije „artificijelna evokacija spontanosti“. Nadovezujući se na tu tvrdnju, autor
zaključuje da „umetnici koji najviše doteruju svoja dela, često daju najjači utisak
prirodnog“ (Gostuški, 1968: 234). Čini se da upravo ta teza može ponuditi objašnjenje
jedne naizgled paradoksalne činjenice vezane za tumačenje Bartokovih dela. Naime,
pojedini autori su naglašavali da muziku tog kompozitora odlikuje „amorfnost i
prirodnost“, (Lendvai, 1972: 118), dok su drugi u prvi plan isticali njenu „logičnost“ i
„akribijsku preciznost“15. Na osnovu pomenutog iskaza Dragutina Gostuškog, nameće
13 Autor navodi da je veliki broj Bartokovih skica i rukopisa je sačuvan, ali da ni jedan od njih ne
pruža eksplicitan dokaz o kompozitorovoj nameri da princip zlatnog preseka primeni u stvaralačkom
postupku. László Somfai.( 1996). Béla Bártok, Composition, Concepts and Autograph Sources.
London, 81–82.
14 Ervin Panofsky. (1955). History of the Theory of Human Proportions as a Reflection of the History
of Stiles, (Meaning in the Visual Arts). New Yourk; prema: Đorđe Petrović. (1999). Teoretičari
proporcija. Beograd, 14.
15 Ханс Хајнц Штукеншмит. (1974). Нова музика; у: Трећи програм, Београд, Радио Београд, 397.
206
DANIELA VESIĆ
sa zaključak da Bartokove kompozicije daju sliku „amorfnog i prirodnog“ upravo zato
što su „akribijski precizno“ uređene. Stoga se i princip Fibonačijevog niza i zlatnog
preseka u njegovoj muzici može tumačiti u svetlu teze o sjedinjavanju shematičnog i
intuitivnog u cilju postizanja „prirodnih odnosa“ unutar muzičke materije.
Muzički stvaraoci druge polovine 20. veka su se otvoreno izjašnjavali o upotrebi
numeričkih i proporcijskih zakona u kompozicionom postupku, što nije ostavilo prostora
za sumnju da je ispoljavanje zlatnog preseka i Fibonačijevog niza u njihovim delima
rezultat svesnog delanja. Fibonačijev niz predstavlja značajnu osnovu u delima Sofije
Gubajduline (Sofia Gubaidulina), počev od sredine osamdesetih godina (Perception,
In the beginning was the Rythm,Stimmen…Verstummen). Gubajdulina je primenjivala
numeričke strukture sa sakralno–mističkim značenjima, te je s entuzijazmom govorila
o lepoti brojeva: „Inspirisana sam ovim metodom rada: ,ples brojeva‘ i čista intuicija.
Muziku stvaram u dva suprotna pravca – u numeričkom i intuitivnom. Kada se ta
dva pristupa ukrste, rezultat je lepota“ (Tsenova, 2002: 253–261). Grčki arhitekta i
kompozitor Janis Ksenakis (Iannis Xenakis) je zasnovao svoj kreativni pristup na ideji
o povezanosti muzike, matematike i arhitekture, te je zlatni presek u svojim muzičkim
ostvarenjima primenjivao kao konstrukcijski princip. Ksenakis je tu proporciju, u
kombinaciji sa set teorijom i Buleanskom algebrom koristio pri komponovanju pojedinih
dela kao što su Herma, i Evryali 16.
Kompozitori su, dakle, imali različite motive za primenu zlatnog preseka u
stvaralačkom postupku. Ta proporcija ih nije inspirisala samo kao estetska, već i kao
univerzalna kategorija, putem koje su istraživali različite kompozicione mogućnosti u
kombinaciji s drugim disciplinama. Stoga je važno naglasiti da zlatni presek na polju
umetnosti uopšte, ne figurira samo kao nosilac „harmonije, ravnoteže i lepote“, već
i kao spona između naizgled nespojivih oblasti duhovnih i intelektualnih aktivnosti.
Tako je Debisi putem te proporcije u muziku nastojao da unese ezoterijske zakone, Sati
mističke, Gubajdulina numerološko–estetske, Ksenakis matematičke i arhitektonske, a
Bartok zakone Prirode.
према: Аница Сабо. (1974). „Посебност Бартоковог односа према златног пресеку у процесу
обликовања музичког тока“; у: Изузетност и сапостојање. (1997). Београд, 132.
16 Immin Chung. (2003). Mathematical and Architectural Concepts Manifested in Iannis Xenakis’s
Piano Music (doktorska disertacija), The University of Texas at Austin. http://ebookbrowse.com/
xenakis-pdf-d216707462